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麻省理工牛人解说数学体系

2019-10-23 16:01:26 访问:2411

在麻省理工学院公牛队眼中

数学体系

首先,我们为什么要深入数学世界

作为一名计算机专业的学生,我无意成为一名数学家。学习数学的目的是爬到巨人的肩膀上,希望站在更高的高度,更深入、更广泛地看到我所学的东西。说到这里,当我第一次来到这所学校的时候,我没有想到我会有一次数学之旅。我的导师最初希望我做的主题是为外观和运动建立一个统一的模型。在今天的计算机视觉世界里,这个话题没有什么特别的。事实上,在最近的论文中,使用各种图形模型将各种东西组合成一个框架并不罕见。

我不否认广受欢迎的图形模型是建模复杂现象的强大工具,但我不认为它是万灵药,也不能取代对所研究问题的深入研究。如果统计学习涵盖所有疾病,那么就不需要许多“下游”学科。事实上,开始的时候,像许多视觉上的人一样,我在考虑制作一个图形模型——我的导师指出,这种方法只是重复了一些标准的过程,没有多大价值。经过长时间的重复,另一条道路慢慢建立起来——我们相信一幅图像是由大量“原子”的一定空间分布形成的,原子群的运动形成了一个动态的视觉过程。微观意义上的单个原子的运动与宏观意义上的整体分布的转变密切相关——这需要我们去探索。

在深入探讨这一课题的过程中,遇到了很多很多的问题。如何描述一般的运动过程,如何建立一个稳定和广泛适用的原子表达式,如何描述微观运动和宏观分布变换之间的关系,等等。在这个过程中,我发现了两件事:

因此,我决心开始深入浩瀚的数学海洋。我希望当我再次出来的时候,我已经有了更强大的武器来面对这些问题的挑战。我的旅程还没有结束,与这个广阔而深刻的世界相比,我的视野仍然很狭窄。在这里,我只想说,在我看来,数学是如何从初级水平逐步发展到高级水平的,以及高等数学对具体应用有什么好处。

集合论:现代数学的共同基础

现代数学有无数的分支,但它们都有一个共同的基础——集合论——正因为如此,这个庞大的数学家族拥有一种共同的语言。集合论中有一些基本概念:集合、关系、函数和等价,这些在其他数学分支的语言中几乎是不可避免的。理解这些简单的概念是进一步研究其他数学的基础。我相信理工科大学生对这些并不陌生。

然而,有一件非常重要的事情并不广为人知——那就是“选择公理”。这个公理意味着“任何一组非空集合必须从每个集合中有一个元素。”-显然是太明显了。然而,这个看似普通的公理可以推导出一些相当奇怪的结论,比如巴纳赫-塔斯基(Banach-Taskey)的分球定理:“一个球可以分成五个部分,经过一系列刚性变换(平移和旋转),它可以组合成两个大小相同的球”。

正是因为这些完全违背常识的结论,数学界对是否接受它进行了长时间的激烈辩论。目前,主流数学家基本上应该接受它,因为数学分支的许多重要定理都依赖于它。在我们稍后将讨论的学科中,以下定理取决于选择公理:

根据集合论,现代数学有两大类:分析和代数。至于其他,如几何和概率论,在古典数学时代,它们与代数并列,但它们的现代版本基本上是基于分析或代数,所以在现代意义上,它们与分析和代数并不平行。

三.分析:极限建筑

3.1微积分:分析的经典时代——从牛顿到柯西

首先,让我们来谈谈从微积分发展而来的分析,这就是为什么一些微积分教科书被称为“数学分析”。然而,分析的范围远远超出这些。我们在大学一年级学的微积分只能被视为经典分析的入门。分析和研究的对象很多,包括导数、积分、微分方程和无穷级数——这些基本概念都是在初等微积分中引入的。如果有一种思想贯穿其中,那就是极限——这是整个分析(不仅仅是微积分)的灵魂。

许多人听说过的一个故事是牛顿和莱布尼茨关于发明微积分权利的辩论。事实上,在他们那个时代,许多微积分工具开始用于科学和工程,但是微积分的基础并没有真正建立起来。

“无穷小量”的幽灵,长期以来没有得到明确的解释,困扰数学界100多年——这是“第二次数学危机”。直到柯西用极限的观点重建了微积分的基本概念,这门学科才开始有一个相对坚实的基础。直到今天,整个分析大楼仍然建立在极限的基石上。

柯西为分析的发展提供了一种严格的语言,但他并没有解决微积分的所有问题。在19世纪,分析世界仍然有一些挥之不去的乌云。尚未解决的最重要问题之一是函数是否可积的问题。

我们现在在微积分教科书中学习的积分,通过“无限区间划分,取矩阵面积和的极限”,是由黎曼在大约1850年提出的,称为黎曼积分(Riemann integral)。然而,黎曼积分(Riemann integral)是什么函数?数学家们早就证明了在封闭区间中定义的连续函数是黎曼可积的。然而,这个结果并不令人满意。工程师需要集成分段连续函数的功能。

3.2实数分析:建立实数理论和测度理论的现代分析

19世纪中后期,间断函数的可积性一直是分析中的一个重要问题。对闭区间上黎曼积分的研究发现,可积性的关键在于“足够多的间断点”。只有在有限点不连续的函数才是可积的,但是许多数学家已经构造了许多在无限点不连续的可积函数。显然,当尺度很小时,有限和无限都不是合适的标准。

在讨论“点集大小”问题的过程中,数学家发现他们认为已经完全理解的实数轴有许多他们没有想到的特征。在极限思想的支持下,实数理论应运而生。它的符号是几个等价定理(定义定理、区间集定理、柯西收敛定理、博尔扎诺-维尔斯特拉斯定理和海涅-博雷尔定理等)。)来描述实数的完整性。这些定理清楚地表达了实数和有理数之间的根本区别:完备性(非常宽松地说,它们是封闭的,以限制运算)。

随着对实数认识的加深,如何度量“点集大小”的问题也取得了突破。勒贝格创造性地将集合代数与外内容概念(即“外测度”的雏形)相结合,建立了测度理论,并进一步建立了基于测度的积分勒贝格积分。在这个新的积分概念的支持下,可积性问题一目了然。

上述实数理论、测度理论和勒贝格积分构成了我们现在称之为实数分析的数学分支。有些书也被称为实变函数理论。对于应用科学来说,真正的分析似乎不像经典微积分那样“实用”——很难得到任何直接基于它的算法。此外,它必须解决的一些“难题”——比如处处不连续的函数,或者处处连续且处处不可微的函数——在工程师眼里是不现实的。

然而,我认为这不是一个纯粹的数学概念游戏,它的实际意义在于为应用数学的许多现代分支提供坚实的基础。下面,我将列出它的一些用途:

3.2.1当前概率论:基于现代分析的再生

自从20世纪30年代科尔莫戈罗夫将测度引入概率论以来,测度理论已经成为现代概率论的基础。这里,概率定义为测度,随机变量定义为可测函数,条件随机变量定义为可测函数在函数空间中的投影,平均值是可测函数对概率测度的积分。值得注意的是,许多现代观点开始以泛函分析的方式看待概率论的基本概念。随机变量形成向量空间,而有符号概率测度形成对偶空间,在对偶空间中,一方对另一方施加平均值。虽然角度不同,但这两种方法都有相同的结果,并形成相同的基础。

在现代概率论的基础上,许多传统分支得到了极大的丰富。最有代表性的包括鞅(martingale)——理论,一种由研究赌博引发的理论,现在主要用于金融(赌博和金融之间的理论联系在这里可以看到,:-p),布朗运动,连续随机过程的基础。在此基础上建立的随机计算包括随机积分(随机过程的路径是积分的,其中ito积分最具代表性)和随机微分方程。应用连续几何的概率模型的建立和分布变换的研究离不开这些方面的知识。

3.3拓扑:分析从实数轴延伸到一般空间——现代分析的抽象基础

随着实数理论的建立,每个人都开始把极限和连续性扩展到更一般的分析。事实上,许多基于实数的概念和定理并不是实数独有的。许多特征可以抽象并扩展到更一般的空间。实数轴的推广导致点集拓扑的建立。许多最初只存在于实数中的概念被提取出来进行一般性讨论。在拓扑学中,有4 C构成其核心:

在现代拓扑学的公理系统中,开集和闭集是最基本的概念。从那以后,一切都扩展了。这两个概念是开区间和闭区间的延伸。他们的基本立场一开始没有得到承认。人们花了相当长的时间才认识到开集的概念是连续性的基础,闭集是封闭的,以限制运算——而极限是分析的基础。

微积分中连续函数有ε-δ语言给出的定义。在拓扑学中,它被定义为“开集的原始图像是开集的函数”。第二个定义等同于第一个定义,但是已经用更抽象的语言重写了。我个人认为,它的第三个(等价的)定义从根本上揭示了连续函数的本质——“连续函数是保持极限运算的函数”——例如,y是序列x1,x2,x3的极限,...如果f是连续函数,那么f(y)是f (x1),f (x2),f (x3)的极限,....

连续函数的重要性可以从其他学科分支中类比出来。例如,在群论中,基本运算是“乘法”。对于组,最重要的映射叫做“同态映射”——保持“乘法”的映射。在分析中,基本运算是“极限”,因此连续函数在分析中的位置相当于代数中同态映射的位置。

这个概念比它所称的路径连接略窄,这意味着一个集合中的任意两点都是通过连续的路径连接起来的——这是一个普通人可以理解的概念。一般意义上的连通性概念有些抽象。在我看来,连通性有两个重要的用途:一是证明一般的中间值定理,二是讨论代数拓扑、拓扑群论和李群论中基本群的阶。

可比性并没有特别出现在初等微积分中,但是有几个关于实数的定理与之相关。例如,“有界序列必须有收敛的子列”——用紧性语言——“实空间中有界闭集是紧的”。它在拓扑学中的一般定义听起来很抽象——“紧集的任何开放覆盖都有有限的子覆盖”。这个定义在讨论拓扑定理时非常方便。在许多情况下,它可以帮助实现从无限到有限的转换。对于分析,它更多地以另一种形式使用——“对于紧密集中的序列,必须有收敛的子序列”——这体现了分析中最重要的“极限”。兼容性在现代分析中被广泛使用,并且不能完全描述。微积分中的两个重要定理:极值理论和一致收敛定理可以用它们推广到一般形式。

从某种意义上说,点集拓扑可以看作是关于“极限”的一般理论。它是从实数理论中抽象出来的。它的概念已经成为几乎所有现代分析学科的共同语言,是整个现代分析的基础。

3.4微分几何:流形分析——拓扑空间中引入微分结构

拓扑学将极限的概念扩展到一般拓扑空间,但这不是故事的结束,而只是开始。在微积分中,我们有极限后的微分、求导和积分。这些东西也可以扩展到拓扑空间,并建立在拓扑的基础上——这就是微分几何。

从教学角度来看,微分几何有两种不同类型的教材。一种是基于经典微机除法的“经典微分几何”,主要是计算二维和三维空间中的一些几何量,如曲率。另一种是基于现代拓扑学,被称为“现代微分几何”(modern differential geometry),其核心概念是“流形”(流形),也就是说,可以执行微分运算的结构被添加到拓扑空间中。现代微分几何是一门非常丰富的学科。例如,一般流形上微分的定义比传统微分的定义更丰富。我从不同的角度看到了三个等价的定义——一方面,它使事情变得更加复杂,但另一方面,它对同一个概念给出了不同的理解,并且在解决问题时经常导致不同的想法。除了推广微积分的概念,还引入了许多新概念:切线空间、余切空间、向前推、向后拉、纤维束、流动、免疫、提交等。

近年来,流形似乎在机器学习中相当流行。然而,坦率地说,要理解一些基本的流形算法,甚至“创建”一些流形算法,它不需要太多的微分几何基础。对我的研究来说,微分几何最重要的应用是基于它的另一个分支:李群和李代数,这是数学中两大家族分析和代数的完美结合。分析和代数的另一个重要组合是函数分析和基于它的调和分析。

4.代数:一个抽象的世界

回顾过去,让我们来谈谈另一个大家族——代数。

如果说经典微积分是分析的入门,那么现代代数的起点是两部分:线性代数和基本抽象代数——据说中国有些教科书称之为现代代数。

代数——这个名字似乎研究数字。在我看来,主要研究的是操作规则。代数实际上是从一个特定的操作系统中抽象出一些基本规则,建立一个公理系统,然后在此基础上进行研究。代数结构是通过将一组运算规则添加到一组运算规则中而形成的。

在主代数结构中,最简单的是群——它只有一个符合结合率的可逆运算,通常称为乘法。如果这个运算也符合汇率,就叫做阿贝尔群。如果有两个运算,一个叫做加法,它满足汇率和组合率,另一个叫做乘法,它满足组合率,它满足分配率。这种更丰富的结构叫做环,如果环上的乘法满足交换率,它就叫做交换环。如果环的加法和乘法都有好的性质,那么它就成为一个域。基于这个领域,我们可以建立一个新的结构,可以加和乘形成线性代数。

代数的优点是它只关心运算规则的推导,而不考虑运算中涉及的对象。只要定义是正确的,猫就可以带着狗和猪。所有基于抽象运算规则得到的定理都可以完全应用于上述猫狗乘法。当然,在实际应用中,我们仍然希望用它做一些有意义的事情。任何研究抽象代数的人都知道,基于几个最简单的规则,比如结合律,可以得出很多重要的结论——这些结论可以应用于所有满足这些简单规则的地方——这就是代数的力量,我们不再需要为每个特定领域重新建立这么多定理。

4.1关于抽象代数

抽象代数基于一些基本定理。进一步的研究通常分为两个学派:有限离散代数结构(如有限群和有限域)的研究,它们通常用于数论、编码和整数方程。另一个学派是对连续代数结构的研究,它通常与拓扑和分析(如拓扑群和李群)相关联。我研究的重点主要是后者。

4.2线性代数:“线性”的基本位置

对于那些从事学习、视觉、优化或统计的人来说,接触最多的是线性代数——这是我们在大学三年级开始学习的。线性代数包括基于它的各种学科。两个核心概念是向量空间和线性变换。线性代数中线性变换的位置与分析中连续函数或群论中同态映射的位置相同——它是一种保持基本运算(加法和数字乘法)的映射。

在learning中有这样的一种倾向

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